Пространство непрерывных функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [a,b] функции (обычно обозначается {\mathrm C}[a,b], иногда C^0[a,b] или C^{(0)}[a,b]) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства[ | ]

Вариации и обобщения[ | ]

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) {\mathbf C}(X,Y) называется множество всех непрерывных ограниченных функций x:X\to Y со введённой на нём нормой:

||x||_{\mathbf C(X,Y)}=\sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

||x||=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность x_n


x_n(t)=
\begin{cases}
1,\quad t\ge\frac{1}{n}\\
nt,\quad t\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\
-1,\quad t\le-\frac{1}{n}
\end{cases}

Его пополнение есть L_1[a,b] — пространство суммируемых функций.

Литература[ | ]

  • А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
  • Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
  • M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
  • К. Иосида. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.