Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)

Части эллипса (рис.2)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось (${\displaystyle a}$),
• эксцентриситет (${\displaystyle e}$),
• наклонение (${\displaystyle i}$),
• долгота восходящего узла (${\displaystyle \Omega }$),
• аргумент перицентра (${\displaystyle \omega }$),
• средняя аномалия (${\displaystyle M_{o}}$).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось[ | ]

Большая полуось — это половина главной оси эллипса ${\displaystyle |AB|}$ (обозначена на рис.2 как a). В астрономии характеризует максимальное расстояние небесного тела от центра эллиптической орбиты.^{[источник не указан 2165 дней]}

Эксцентриситет[ | ]

Эксцентрисите́т (обозначается «${\displaystyle e}$» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.^[1] Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$, где ${\displaystyle b}$ — малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$ — окружность
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ — эллипс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$ — парабола
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$ — гипербола, ${\displaystyle b}$ — мнимое число
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$ — прямая (вырожденный случай)

Наклонение[ | ]

${\displaystyle A}$ – объект
${\displaystyle B}$ – центральный объект
${\displaystyle C}$ – плоскость отсчёта
${\displaystyle D}$ – плоскость орбиты
 ${\displaystyle i}$  – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если ${\displaystyle 0<i<90}$°, то движение небесного тела называется прямым^[2].

Если ${\displaystyle 90}$°${\displaystyle <i<180}$°, то движение небесного тела называется обратным.

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла[ | ]

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Аргумент перицентра[ | ]

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты спутника), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения спутника, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (${\displaystyle \omega }$).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным^[3].

Средняя аномалия[ | ]

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Средняя аномалия для тела, движущегося по орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой ${\displaystyle M}$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия ${\displaystyle M}$ вычисляется по следующим формулам:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})}$

где:

• ${\displaystyle M_{0}}$ — средняя аномалия на эпоху ${\displaystyle t_{0}}$,
• ${\displaystyle t_{0}}$ — начальная эпоха,
• ${\displaystyle t}$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• ${\displaystyle n}$ — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

где:

• ${\displaystyle E}$ — эксцентрическая аномалия (${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет.

Вычисление кеплеровых элементов[ | ]

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 октября 2018 года.

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ и вектор скорости ${\displaystyle \mathbf {{\dot {r}}({{\dot {x}}_{0}},{{\dot {y}}_{0}},{{\dot {z}}_{0}})} }$ на момент времени ${\displaystyle t}$. Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

${\displaystyle r_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{0}^{2}={\dot {x}}_{0}^{2}+{\dot {y}}_{0}^{2}+{\dot {z}}_{0}^{2}}$

${\displaystyle r_{0}\cdot {\dot {r}}_{0}=x_{0}\cdot {\dot {x}}_{0}+y_{0}\cdot {\dot {y}}_{0}+z_{0}\cdot {\dot {z}}_{0}}$

По :

(1) ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела; для Земли μ = 3,986005⋅10⁵ км³/c², для Солнца μ = 1,32712438⋅10¹¹ км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим ${\displaystyle a}$.

Примечания[ | ]

См. также[ | ]

• Элементы орбиты